روش تاپسیس فازی (Fuzzy TOPSIS) با مثال ساده

فیلم آموزش روش تاپسیس فازی

در اینجا به آموزش روش تاپسیس فازی در اکسل پرداخته شده است. همراه با این ویدئوی آموزشی، یک مثال کاربردی در اکسل قدم به قدم حل شده است.

دانلود

روش تاپسیس (TOPSIS) فازی یکی از تکنیک های تصمیم گیری چند معیاره است که معمولا در مدیریت استفاده میشود. البته این تکنیک جایگاه خود را در سایر رشته های غیر مدیریتی همچون مهندسی و علوم انسانی یافته است. تصمیم گیری در Fuzzy TOPSIS به معنی در نظر گرفتن معیارهای مختلف است که هر کدام از آنها در فاصله ای تعریف شده اند. عبارات رایجی که ممکن است شما در این رویکرد بشنوید عبارتند از: معیار (Criterion)، معیارها (Criteria) و گزینه ها (Alternatives). گزینه ها میتوانند انتخاب تأمین کننده یا انتخاب یک کاندید از میان سایر کاندیدها باشند; و یا اینکه تعدادی شاخص باشند و بخواهیم آن ها را رتبه بندی کنیم. پس ممکن است که هدف انتخاب یک گزینه از میان سایر گزینه ها باشد بدون آنکه برای ما مهم باشد که وزن سایر گزینه ها چقدر است.

همچنین، اینکه ممکن است هدف ما رتبه بندی گزینه ها باشد و برای ما مهم است که سایر گزینه ها چه وزن هایی دارند. دیگر اصطلاح کلیدی که ممکن است شما در آموزش روش تاپسیس فازی بشنوید ماتریس تصمیم است. این ماتریس از کنار هم قرار گرفتن اوزان جدول های مقایسه های زوجی گزینه ها نسبت به معیارها و یا امتیازات گزینه ها نسبت به معیار ها بدست می آید. یعنی ما می توانیم برای مقایسه ی گزینه ها نسبت به معیارها جدول مقایسه زوجی داشته باشیم و یا همان طور که در تکنیک های دیگر چون روش AHP داشتیم امتیازات مستقیم گزینه ها را نسبت به هر معیار وارد کنیم.

به عنوان نمونه برای رتبه بندی خودروها از لحاظ معیارهایی مانند قیمت، کیفیت، راحتی وغیره میتوانیم خودروها را بر اساس قیمت آنها در یک ستون وارد کنیم و برای سایر معیارها نیز میتوانیم امتیازاتی که می گیرند یا مقادیر تجربی که دارند را در ستون های بعدی قرار دهیم تا ماتریس تصمیم تشکیل شود. در واقع در روش تاپسیس فازی برای ماتریس تصمیم ممکن است نیازی نباشد که شما جدول های مقایسه زوجی تشکیل دهید و این باعث میشود که تعداد سوالات پرسشنامه FTOPSIS شما به حداقل کاهش پیدا کند.

روش تاپسیس کلاسیک یا غیر فازی برای تعیین وزن گزینه ها یا معیارها از اعداد قطعی استفاده میکند. به این معنی که یک مقدار عددی را به هر کدام از مقایسه ها نسبت میدهیم. اما برخلاف تکنیک کلاسیک، در حالت فازی اعداد میتوانند مقدار مینیمم و ماکسیمم نیز داشته باشند. به عنوان نمونه اگر قیمت خودرو را در بازار آزاد در نظر بگیرید میتوان حداقل قیمت، قیمت میانگین، و حداکثر قیمت را برای این خودرو به صورت (حداکثر، میانگین، حداقل) تعریف کرد. به این نوع از اعداد، اعداد فازی مثلثی گفته میشود. تمامی سوالاتی که برای این رویکرد طراحی میکنید بایستی به صورت فازی امتیاز دهی شوند. بدیهی است در زمانی که نظرات خبرگان دارای ابهام باشد روش فازی بهتر عمل خواهد کرد. برای مسائل بسیار ساده روش تاپسیس کلاسیک بهتر عمل خواهد کرد اما برای مسائلی که بعد آن بالاتر است و ابهام زیادی در نظرات کارشناسان وجود دارد، روش تاپسیس فازی پیشنهاد میشود. این روش اولین بار در سال 1992 توسط چن  و هوانگ ابداع شد.

تفاوت روش تاپسیس فازی و کلاسیک

با یک مثال ساده می توان تفاوت این دو را درک کرد. در نظر داشته باشید همان طور که بیان شد در مسائلی که تعداد گزینه ها و معیارهای شما بالا است، بهتر است از حالت فازی استفاده کنید. در نظر بگیرید که قرار است تعدادی خودرو را براساس تنها معیار هزینه مقایسه کنید. نادیده گرفتن عدم قطعیت تنها یک معیار تاثیر چندانی بر نتایج ندارد. اما اگر شما بخواهید معیارهای مختلفی را درنظر بگیرید بدیهی است که این عدم قطعیت ها میتوانند با همدیگر جمع شوند و در نهایت وزن گزینه های شما را تغییر دهند.

از تفاوت های بارز این دو تکنیک عبارت است از نرمال سازی و ادغام نظر کارشناسان. ادغام زمانی استفاده میشود که شما بیش از یک تصمیم گیرنده را برای مسئله خود انتخاب کرده باشید. در این صورت نیاز است که نظرات کارشناسان با یکدیگر ادغام شوند تا پرسشنامه ای واحد داشته باشید و روش تاپسیس فازی را بر اساس این پرسشنامه فازی انجام دهید. در مقایسات ممکن است برای شما راحت تر باشد که یک متغیر کلامی را که براساس یک طیف تعریف شده است، به جواب سوال خود نسبت دهید.

در این صورت برای تبدیل کردن آن به یک عدد کیفی نیاز است از یک مقیاس استفاده کنید. البته از آنجا که نظرات افراد و ذهنیت آنها متفاوت است، میتوانید این مقیاس را تغییر دهید و بر اساس درصد خوشبینی و بدبینی افراد کران بالا و کران پایین را برای اعداد فازی مثلثی تعریف کنید. ناگفته نماند که لطفـی زاده و بلمـن اولـین کسانی بودند که در مورد منطق فازی و اعداد فازی تحقیق کردند.

مراحل روش تاپسیس فازی در زیر آورده شده است

• تشکیل ساختار سلسله مراتبی
• طراحی جدول مقایسات زوجی معیارها و ماتریس تصمیم گزینه ها نسبت به معیارها
• تشکیل پرسشنامه برای معیارها و گزینه ها
• بررسی مقدار ناسازگاری جدول مقایسه زوجی معیارها
• تکمیل جدول های مقایسات زوجی و ماتریس تصمیم
• تعیین وزن معیارها بر اساس روش چانگ ( در روش AHP فازی چانگ شرح داده شده است)
• نرمال سازی ماتریس تصمیم
• تشکیل ماتریس تصمیم وزین
• یافتن ایده آل های مثبت و منفی
• به دست آوردن فاصله گزینه ها از ایده آل های مثبت و منفی
• محاسبه ci ها یا دورترین فاصله از ایده آل منفی و همزمان نزدیکترین فاصله از ایده آل مثبت

این تکنیک را میتوان با ahp و یا روش anp ترکیب کرد.

آموزش روش تاپسیس فازی

ماتریس تصمیم اولیه و تعیین اوزان معیارها

در نظر بگیرید که ماتریس تصمیمی با n معیار و m گزینه دارید. در اینصورت هر یک از اعداد این ماتریس با xij=(aij,bij,cij) بصورت زیر مشخص میشوند.

در مرحله بعد وزن معیارها تعیین میشود. این اوزان میتوانند توسط کارشناس تعیین شوند یا بر اساس مقایسات زوجی بدست آیند. نحوه محاسبه وزن جدول مقایسات زوجی را در تکنیک های مختلفی مانند AHP و ANP شرح دادیم. در تمامی این روش ها، اوزان ماتریس مقایسات زوجی بر اساس روش بردار ویژه بدست می آید. با فرض داشتن اوزان معیارها (از هر روشی)، این اوزان بصورت زیر تعریف میشوند.

بی مقیاس کردن (نرمالایز کردن) ماتریس تصمیم فازی

معمولا در روش TOPSIS فازی از تکنیک تغییر مقیاس خطی برای نرمالایز کردن استفاده میشود. خروجی ماتریس نرمالایز نیز اعداد فازی هستند که هر متغیر xij پس از بی مقیاس شدن بصورت rij نشان داده میشوند. نکته قابل توجه در مقیاس سازی توجه به مثبت و منفی بودن معیارها است. این کار برای همجهت شدن معیارها انجام میشود.

تعیین ماتریس تصمیم نرمالایز وزین

با صرب کردن تک تک عناصر هر ستون در وزن آن ستون (معیار) ماتریس نرمالایز وزین بدست می آید. فرمول ریاضی این مفهوم بصورت زیر نوشته میشود.

در این مرحله نیز اسم اعداد فازی در ماتریس تصمیم به vij تغییر داده میشوند.

پیدا کردن گزینه ایده آل فازی و گزینه ضد ایده آل فازی

گزینه ایده ال فازی و ضد ایده ال فازی از طریق فرمول زیر بدست می آیند.

توجه داشته باشید که منظور از vij3 عدد سوم یا کران بالای عدد فازی مثلثی است. یعنی اگر برای i و j خاص، vij برابر با (a,b,c) باشد، آنگاه vij3 برابر با c است. همچنین، در این مثال خاص، vij1 برابر با a است.

محاسبه فاصله از ایده آل و ضد ایده آل فازی

همانطور که در روش تاپسیس فاصله از ایدآل مثبت و منفی تعیین میشد، در روش تاپسیس فازی نیز این فاصله بدست می آید. فاصله از ایده آل و ضد ایده آل فازی بصورت زیر محاسبه میشود.

نکته: فاصله دو عدد فازی بصورت زیر محاسبه میشود.

محاسبه شاخص شباهت و رتبه بندی

رتبه بندی گزینه ها در نهایت بر اساس شاخص شباهت بدست می آید. شاخص شباهت معادل فرمول نهایی روش تاپسیس است که نزدیکترین فاصله از ایدآل مثبت و دورترین فاصله از ایدآل منفی بدست می آمد. در روش تاپسیس فازی شاخص شباهت بصورت زیر محاسبه میشود.

هرچه عدد cci بزرگتر باشد، رتبه گزینه بالاتر است. این آموزش، در مثال روش تاپسیس فازی نیز آورده شده است.

مثال روش تاپسیس فازی

در این بخش قصد داریم تا یک مثال ساده روش تاپسیس فازی را با هم بررسی کنیم. اگرچه میتوان تعداد کارشناسان زیادی را در نظر گرفت اما در این مثال ساده TOPSIS فازی فرض کنید که تنها یک کارشناس دارید. همچنین، فرض کنید که هدف رتبه بندی تعدادی نرم افزار حوزه یادگیری ماشین (machine learning) است که بر اساس تعدادی معیار ارزیابی شده اند. معیارها و گزینه ها به ترتیب زیر میباشند.

شناسایی معیارها

معیارها:

• قیمت نرم افزار
• سهولت
• بازار کار

گزینه ها:

• پایتون (Python)
• متلب (MATLAB)
• آر (R)

در میان معیارهای بالا، قیمت معیار منفی است در حالی که سهولت و بازار کار معیارهای مثبت هستند. منفی بودن معیار به معنی این است که هر چه مقدار کمتری داشته باشند مطلوبیت بیشتر است. اما در معیارهای مثبت هر چه مقدار بیشتر باشد مطلوبیت بیشتر است. در ادامه مثال روش تاپسیس فازی، معیارها نرمالایز میشوند تا همجهت شوند.

تشکیل ساختار سلسله مراتبی و مقیاس فازی برای مقایسات

همانطور که در بالا آورده شد، قدم اول روش تاپسیس فازی تشکیل ساختار سلسله مراتبی مسئله است. این ساختار در زیر نشان داده شده است.

همانطور که در شکل بالا نشان داده شده است، تمامی گزینه ها به معیارها متصل هستند. اما اگر معیاری برای یک گزینه خاص بی معنی باشد میتوان از رسم پیمان میان معیار و گزینه مورد نظر صرف نظر کرد. مقایسه معیارها بر اساس یک مقیاس فازی انجام میشود که ما در این آموزش روش تاپسیس فازی ترجیح میدهیم که از مقیاس زیر استفاده کنیم.

در مقایسه ارجحیت معیار A نسبت به معیار B، اگر دو معیار برابر باشند عدد (1,1,3) نسبت داده میشود. اما اگر A از B به اندازه “خیلی زیاد” کم اهمیت باشد بایستی معکوس (7,9,11) یعنی (1/11,1/9/1/7) را نسبت داد.  فرض کنید که کارشناسان برای معیارها به پرسشنامه پاسخ داده اند و حاصل به صورت جدول مقایسات زوجی زیر است.

روش چانک برای محاسبه وزن جدول مقایسات زوجی روش تاپسیس فازی

در این بخش تنها نتایج روش چانگ آورده میشود. برای یادگیری الگوریتم روش چانگ میتوانید آموزش روش تاپسیس فازی را تهیه کنید. بطور خلاصه، خروجی روش چانگ بصورت زیر بدست می آید. میتوانید آموزش روش چانگ را در وبسایت دیتا هارنسینگ بیابید.

در قدم بعد، ماتریس تصمیم تصمیم نرمالایز شده و در وزن معیارها ضرب میشود. ماتریس تصمیم اولیه را میتوانید در جدول زیر مشاهده کنید.

ماتریس تصمیم اولیه

ماتریس تصمیم نرمالایز وزین

از آنجایی که وزن معیارها بصورت قطعی و اعداد ماتریس تصمیم بصورت فازی است، وزن ها سه بار تکرار میشوند تا بصورت فازی نوشته شوند. یعنی وزن معیار قیمت بصورت (0.0512,0.0512,0.0512) نوشته میشود. در زیر ماتریس تصمیم نرمالایز وزین TOPSIS فازی آورده شده است.

ایدآل مثبت و منفی

همانطور که در جدول بالا دیده میشود، ایدال های مثبت برابر با اوزان معیارها هستند اما همیشه این اتفاق نمی افتد و در این مثال خاص بطور تصادفی اتفاق افتاده است.

فاصله از ایدآل ها

در مرحله بعد، فاصله از ایدآل مثبت d+ و فاصله از ایدآل منفی d- محاسبه میشود. در نهایت نزدیک ترین فاصله از ایدآل مثبت و دورترین فاصله از ایدآل منفی cj بصرت ستون سوم جدول زیر بدست می آید.

نتایج نشان میدهد که پایتون با وزن 0.4635 دارای بالاترین وزن است که رتبه اول را به خود اختصاص می دهد. یعنی، مناسب ترین و بهترین زبان برنامه نویسی که ما به دنبال آن بودیم، زبان برنامه نویسی پایتون است. پس از آن آر و متلب به ترتیب رتبه های دوم و سوم را به خود اختصاص داده اند. بنابراین، در روش تاپسیس فازی هرچه مقدار cj بالاتر باشد، رتبه گزینه مورد نظر بالاتر است.